Définition

Enoncé du théorème d'Ehrenfest

Le théorème d'Ehrenfest nous dit que:
$${{\frac{\partial \braket \hat Q}{\partial t} }}={{\frac{\langle\hat \rangle p}{m} }}$$
$${{\frac{\partial \braket \hat p}{\partial t} }}={{-\braket{\hat{\left(\frac{\partial V}{\partial q}\right)}_{q=\hat Q} } }}$$
Avec:

• \(\hat Q\): l'opérateur position en coordonnées généralisées
• \(q\): la position en coordonnées généralisées

Exemple

Cas d'un oscillateur harmonique

On a \(V(q)=\frac 12kq^2\)
Soit, en quantique: $$\hat V(\hat Q)=\frac 12 k\hat Q^2$$
Donc
$$\frac{d V(q)}{dq}=kq$$
$$\braket\left({\frac{d V}{dq} }\right) _{q=\hat Q}=k\langle{\hat Q}\rangle $$
$$\left(\frac{dV(q)}{q}\right)_{q=\langle{\hat Q}\rangle }=k\langle{\hat Q}\rangle $$
Finalement:
On a toujours
$$\frac{d\hat Q}{dt}=\frac{\braket \hat p}{m}$$
Et
$$\left(\frac{dV(q)}{q}\right)_{q=\langle{\hat Q}\rangle }=\frac{d\langle{\hat p}\rangle }{dt}$$
Les oscillateurs harmoniques ont suivent les lois de la mécanique classique en moyenne. Ce qui n'est pas le cas pour tout les systèmes.